Hàm số `y=1/3x^3-mx^2+(m^2-4)x+3-m` m là tham số. với mọi giá trị m hàm số luôn nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng ????

Đáp án: $4$

Giải thích các bước giải:

$y'=x^2-2mx+m^2-4$
giả sử $y'=0$ có $2$ nghiệm $x_1,x_2$
thì hàm số luôn nghịch biến trên $(x_1;x_2)$
độ dài đoạn đó là $S=|x_2-x_1|$
$S^2=(x_1+x_2)^2-4x_1.x_2$
áp dụng viet ta có 
$S^2=(2m)^2-4(m^2-4)=16$
$\Leftrightarrow S=4$
vậy hàm luôn nghịc biến trên đoạn có độ dài là $4$

Đáp án:

 `L=4`

Giải thích các bước giải:

Hàm số đã cho có $D = \Bbb R $

Ta có: `y'=x^2-2mx+m^2-4` 

`Δ'_(y')=4>0⇒y'=0` luôn có 2 nghiệm phân biệt `x_1,x_2` (giả sử `x_1<x_2`)

Theo định lí Vi-ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m \\x_1x_2=m^2-4\end{cases}$

Hàm số nghịch biến với độ dài `L=| x_1-x_2| `

`⇔L^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2`

`⇔L^2=(2m)^2-4(m^2-4)`

`⇔L^2=4m^2-4m^2+16`

`⇒L=4`

Vậy hàm số đã cho luôn nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.