Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] đồng biến trên đoạn từ [1;4] và thỏa mãn đẳng thức x + 2xf(x) =[f(x)']^2 .Biết rằng f(1) = 3/2 .Tính Tích phân từ 1 đến 4 của f(x)

Đáp án:

$\begin{array}{l}
x + 2x.f\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\\
 \Rightarrow x.\left( {2f\left( x \right) + 1} \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\\
 \Rightarrow x = \dfrac{{{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{2f\left( x \right) + 1}}\\
 \Rightarrow \sqrt x  = \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {2f\left( x \right) + 1} }}\left( {do:f'\left( x \right) \ge 0} \right)\\
 \Rightarrow \int {\sqrt x dx}  = \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {2f\left( x \right) + 1} }}dx} \\
 \Rightarrow \dfrac{2}{3}x\sqrt x  + C = \int {\dfrac{1}{{2\sqrt {2f\left( x \right) + 1} }}d\left( {2f\left( x \right) + 1} \right)} \\
 \Rightarrow \sqrt {2f\left( x \right) + 1}  = \dfrac{2}{3}x\sqrt x  + C\\
Do:f\left( 1 \right) = \dfrac{3}{2}\\
 \Rightarrow \sqrt {2.\dfrac{3}{2} + 1}  = \dfrac{2}{3}.1.\sqrt 1  + C\\
 \Rightarrow 2 = \dfrac{2}{3} + C\\
 \Rightarrow C = \dfrac{4}{3}\\
 \Rightarrow \sqrt {2f\left( x \right) + 1}  = \dfrac{2}{3}x\sqrt x  + \dfrac{4}{3}\\
 \Rightarrow 2f\left( x \right) + 1 = \dfrac{{{{\left( {2x\sqrt x  + 4} \right)}^2}}}{9}\\
 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{4{x^3} + 16x\sqrt x  + 7}}{{18}}\\
 \Rightarrow \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} \\
 = \int\limits_1^4 {\dfrac{{4{x^3} + 16x\sqrt x  + 7}}{{18}}dx} \\
 = \dfrac{{1186}}{{45}}
\end{array}$