Hai quả cầu kim lọai nhỏ giống hệt nhau ,chứa các điện tích cùng dấu q1 và q2 , được treo vào chung một điểm O bằng hai sợi dây chỉ mảnh ,ko dãn và dài bằng nhau . Hai quả cầu đẩy nhau và góc giữa hai quả cầu treo là 60° . Cho hai quả cầu tiếp xúc vs nhau rồi thả ra thì chúng đẩy nhau mạnh hơn và góc giữa hai dây treo bây giờ là 2a . Nếu q1/q2 = 0.8 thì tana là?

ADCT: F=k.∣q1∗q2∣r2

Gọi độ dài dây là l, khối lượng mỗi quả cầu là m

Theo giả thiết: Góc giữa 2 dây treo là 60o => α=30o

Ta có: tanα=F1P=k∗q1∗q2(2.l.sinα)2∗mg=3√3

<=> 3.k.q1.q2=4.l2.sin2α.m.g.3–√

<=> 3.k.q1.q2=l2.m.g.3–√ (1)

+) Sau khi tiếp xúc:

Điện tích mỗi quả cầu là: q=q1+q22

Theo giả thiết: Góc giữa 2 dây treo là 90o => β=45o

Ta có: tanβ=F2P=k∗q2(2.l.sinβ)2∗mg=1

<=> k.q2=4.l2.sin2β.m.g

<=> k.(q1+q22)2=4.l2.sin2β.m.g

<=> k.(q1+q2)2=16.l2.sin2β.m.g

<=> k.(q1+q2)2=8.l2.m.g (2)

Lấy (1)/(2), ta có:

3.k.q1.q2k.(q1+q2)2=l2.m.g.3√8.l2.m.g

<=> 3.q1.q2(q1+q2)2=3√8

<=> 24.q1.q2=(q1+q2)2.3–√

<=> 8.3–√.q1.q2=q21+q22+2.q1.q2

<=> q21+q22+(2−83–√).q1.q2=0

<=> q21q22+1+(2−83–√).q1q2=0

<=> q1q2≈11,7714

hoặc q1q2≈0,085

Đáp án: $\tan \alpha  = 1,9$

Giải thích các bước giải:

Gọi l là chiều dài của dây treo. Khi chưa trao đổi điện tích với nhau thì khoảng cách giữa hai quả cầu là l.

Lực đẩy giữa hai quả cầu là:

$F_1  = k{{q_1 .q_2 } \over {l^2 }}$

Ban đầu góc giữa hai quả cầu là 60 độ, xét trạng thái cân bằng lực cuae 1 quả cầu ta có:

$\tan 30 = {{F_1 } \over P} = k{{q_1 .q_2 } \over {P.l^2 }}$ (1)

Khi 2 quả cầu trao đổi điện tích với nhau thì mỗi quả cầu mang điện tích : ${{q_1 .q_2 } \over 2}$

Khoảng cách giữa hai quả cầu bây giờ là: $x^2  = 2l^2  - 2l^2 .c{\rm{os}}2\alpha $

Lực đẩy giữa chúng bây giờ là:

$F_2  = k{{(q_1  + q_2 )^2 } \over {x^2 }}$

Xét trạng thái cân bằng lực ta có:

$\tan \alpha  = {{F_2 } \over P} = k{{(q_1  + q_2 )^2 } \over {P.x^2 }}$ (2)

Lấy (1)/(2):

$
\eqalign{
  & {{\tan 30} \over {\tan \alpha }} = {{q_1 .q_2 .2(1 - c{\rm{os}}2\alpha )} \over {(q_1  + q_2 )^2 }}  \cr 
  &  \to \tan \alpha  = {{\sqrt 3 ((q_1  + q_2 )^2 } \over {3.q_1 .q_2 .2(1 - c{\rm{os}}2\alpha )}} \cr} 
$

Chia cả tử và mẫu cho $q_2^2 $ thay giá trị ${{q_1 } \over {q_2 }} = 0,8$ ta được:

$
\eqalign{
  &  \to \tan \alpha  = {{4,05} \over {2 - c{\rm{os}}2\alpha }}  \cr 
  & \cos 2\alpha  = {{1 - \tan ^2 \alpha } \over {1 + \tan ^2 \alpha }} \cr} 
$

Suy ra $\tan \alpha  = 1,9$