Gọi z là một nghiệm của phương trình $z^{2}$ - $z$ + 1 =0 . Giá trị của biểu thức M = $z^{2019}$ + $z^{2018}$ + $\frac{1}{z^{2019} }$+ $\frac{1}{z^{2018} }$ +5 bằng A: 5 B:2 C:7 D:-1

Đáp án:

$B.\ 2$

Giải thích các bước giải:

$\quad z^2 - z + 1 = 0$

Nhận thấy $z = -1$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

Nhân hai vế của phương trình cho $z + 1$ ta được:

$\quad (z+1)(z^2 - z + 1)= 0$

$\Leftrightarrow z^3 + 1 = 0$

$\Leftrightarrow z^3 = -1$

Khi đó:

$\quad M = z^{2019} + z^{2018} + \dfrac{1}{z^{2019}} +\dfrac{1}{z^{2018}} + 5$

$\to M = \left(z^3\right)^{673} + \left(z^3\right)^{672}.z^2 + \dfrac{1}{\left(z^3\right)^{673}} + \dfrac{z}{\left(z^3\right)^{673}} + 5$

$\to M = (-1)^{673} + (-1)^{672}.z^2 + \dfrac{1}{(-1)^{673}} +\dfrac{z}{(-1)^{673}} + 5$

$\to M = - 1 + z^2 - 1 - z + 5$

$\to M = (z^2 - z +1) + 2$

$\to M = 0 + 2 = 2$