Gọi S là tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |x^3 -3x + m| trên đoạn [0;3] bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằng?

Đáp án:

$S=-16$

Lời giải:

Xét hàm số $y=x^3-3x+m$ $(x\in[0;3])$

$\to y'=3x^3-3$

$y'=0\to x=1$ (nhận) hoặc $x=-1$ (loại)

$y(0)=m$

$y(1)=m-2$

$y(3)=18+m$

Nếu $\max\limits_{[0;3]}f(x)=|m|=16\Rightarrow m=\pm16$

Với $m=16\Rightarrow y(x)=x^3-3x+16$

$y(0)=16,y(1)=14,y(3)=34\Rightarrow \max\limits_{[0;3]}f(x)=34$ (loại)

Với $m=-16\Rightarrow y(x)=x^3-3x-16$

$y(0)=-16,y(1)=-18$ (loại)

Nếu $\max\limits_{[0;3]}f(x)=|m-2|=16\Rightarrow m=18$ hoặc $m=-14$

Với $m=18\Rightarrow y(x)=x^3-3x+18$

$y(0)=18$ (loại)

Với $m=-14\Rightarrow y(x)=x^3-3x-14$

$y(0)=-14,y(1)=-16,y(3)=4\Rightarrow \max\limits_{[0;3]}f(x)=16$ (thỏa mãn)

Nếu $\max\limits_{[0;3]}f(x)=|m+18|=16\Rightarrow m=-2$ hoặc $m=-34$

Với $m=-2\Rightarrow y(x)=x^3-3x-2$

$y(0)=-2,y(1)=-4,y(3)=16\Rightarrow \max\limits_{[0;3]}f(x)=16$ (thỏa mãn)

Với $m=-34\Rightarrow y(x)=x^3-3x-34$

$y(0)=-34$ (loại)

Vậy $m=\{-14;-2\}$

$\to$ Tổng tất cả phần tử của $S=-14+(-2)=-16$