Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=$\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-1)x$ có hai điểm cực trị A B, sao cho A B, nằm khác phía và cách đều đường thẳng y=5x-9 . Tính tổng tất cả các phần tử của S .
2 câu trả lời
Đáp án:
`S=0`
Giải thích các bước giải:
Với mọi `m` hàm số luôn có hai cực trị
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là `y=-(2x)/3+(m(m^2-1))/3`
Vì `A,B` nằm khác phía cách đều đường thẳng `y=5x-9`
Nên trung điểm `AB` thuộc đường thẳng `y=5x-9`
Do đó:
`5(\frac{x_1+x_2}{2})-9=-2/3(\frac{x_1+x_2}{2})+(m(m^2-1))/3`
`⇔` `5(\frac{2m}{2})-9=-2/3(\frac{2m}{2})+(m(m^2-1))/3`
`⇔ m^3-18m+27=0`
`⇔ ` \(\left[ \begin{array}{l}m=3\\m=\frac{-3+3\sqrt[]{5}}{2}\\m=\frac{-3-3\sqrt[]{5}}{2}\end{array} \right.\)
Vậy `S=3+\frac{-3-3\sqrt[5]}{2}+\frac{-3+3\sqrt[5]}{2}=0`
Đáp án: S=0
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\\
\Rightarrow y' = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\\
= {\left( {x - m} \right)^2} - 1\\
= \left( {x - m - 1} \right)\left( {x - m + 1} \right) = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = m + 1\\
x = m - 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{3}{\left( {m + 1} \right)^3} - m.{\left( {m + 1} \right)^2} + \left( {{m^2} - 1} \right).\left( {m + 1} \right)\\
y = \dfrac{1}{3}{\left( {m - 1} \right)^3} - m.{\left( {m - 1} \right)^2} + \left( {{m^2} - 1} \right).\left( {m - 1} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{3}\left( {{m^3} + 3{m^2} + 3m + 1} \right) - \left( {{m^3} + 2{m^2} + m} \right) + {m^3} + {m^2} - m - 1\\
y = \dfrac{1}{3}\left( {{m^3} - 3{m^2} + 3m - 1} \right) - \left( {{m^3} - 2{m^2} + m} \right) + {m^3} - {m^2} - m + 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = \dfrac{1}{3}{m^3} - m - \dfrac{2}{3}\\
y = \dfrac{1}{3}{m^3} - m + \dfrac{2}{3}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow CT:A\left( {m + 1;\dfrac{1}{3}{m^3} - m - \dfrac{2}{3}} \right)\\
B\left( {m - 1;\dfrac{1}{3}{m^3} - m + \dfrac{2}{3}} \right)
\end{array}$
Hai điểm cực trị nằm khác phía và cách đều đường thẳng d nên trung điểm I của AB nằm trên d
$\begin{array}{l}
I\left( {m;\dfrac{1}{3}{m^3} - m} \right)\\
I \in y = 5x - 9\\
\Rightarrow \dfrac{1}{3}{m^3} - m = 5m - 9\\
\Rightarrow \dfrac{1}{3}{m^3} - 6m + 9 = 0\\
\Rightarrow {m^3} - 18m + 27 = 0\\
\Rightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {{m^2} + 3m - 9} \right) = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = \dfrac{{ - 3 \pm 3\sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow S = 3 + \dfrac{{ - 3 + 3\sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{ - 3 - 3\sqrt 5 }}{2} = 0
\end{array}$
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
