Gọi a là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại các số nguyên b, c để phương trình: 8a.log² √x + b.log x ² + 3c = 0 có 2 nghiệm phân biệt đều thuộc (1; 10). Tính giá trị của a?

Đáp án:

Để $8a.\log \sqrt{x}+b\log x^2+3c=0$

$\to 2a\log^2x+2b\log x + 3c=0$

Đặt $t=\log x$

$\to$ Để $2a\log^2x+2b\log x + 3c=0$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc (1;10)$ thì $f(t)=2at^2+2bt+3c=0$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $(0;1)$

Giả sử tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất để phương trình $2at^2+2bt+3c=0\qquad (*)$ tồn tại hai nghiệm phân biệt thuộc $(0;1)$

Khi đó: \(\left\{\begin{matrix}
f(0)=3c\geqslant 3 & \\ 
f(1)=2a+2b+3c\geqslant 1 & 
\end{matrix}\right.\) 

$f(t)=2a(t-t_1)(t-t_2)$

$\to 3\geqslant f(0).f(1) \geqslant \dfrac{a^2}4$

$\to a^2\geqslant 12$

$\to a=4$

Thử lại thấy thoả mãn yêu cầu đề bài.

Vâyj giá trị cần tìm là $4$