Gọi a là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại các số nguyên b, c để phương trình: 8a.log² √x + b.log x ² + 3c = 0 có 2 nghiệm phân biệt đều thuộc (1; 10). Tính giá trị của a?

Đáp án:

$a = 4$

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với

$2a \log^2x + 2b\log x + 3c = 0$

Đặt $t = \log x$. Khi đó điều kiện là nghiệm $t \in (0, 1)$ và phương trình trở thành

$2at^2 + 2bt + 3c = 0$

Giả sử $a$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tồn tại các số nguyên $b, c$ để phương trình trên có hai nghiệm $t_1, t_2$ trong khoảng $(0,1)$. Khi đó

$f(0) > 0$ và $f(1) > 0$

hay

$3c >0$ và $2a + 2b + 3c > 0$

Do $a, b, c$ đều là số nguyên nên từ vc $3c > 0$, ta suy ra $c > 0$, vậy $c \geq 1$ hay $3c \geq 3$.

Tương tự như vậy, ta có $2a + 2b + 3c > 0$, mà $2a + 2b + 3c$ là số nguyên nên $2a + 2b + 3c \geq 1$. Suy ra

$3c \geq 3$ và $2a + 2b + 3c \geq 1$  (1)

Mặt khác, phương trình trên có 2 nghiệm $t_1, t_2$ phân biệt nên ta có

$f(t) = 2a(t-t_1)(t-t_2)$  (2)

Từ (1) và (2) áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có

$3 \leq f(0) . f(1)  = 4a^2 t_1 t_2 (1-t_1)(1-t_2)$

$\leq 4a^2 . \left(\dfrac{t_1 + t_2 + 1 - t_1 + 1 - t_2}{4} \right)^4 \leq \dfrac{a^2}{4}$

$\Leftrightarrow a^2 \geq 12$

$\Leftrightarrow a \geq 4$.

Thử lại với $a = 4$, chọn $b = -5, c = 1$, ta có hai nghiệm là $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{3}{4}$.

Vậy $a = 4$.