Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Cho biết (a+b)(b+c)(c+a)-8abc Chứng minh tam giác đó là tam giác đều

Đáp án:

Áp dụng BĐT cô - si ta có : 

`a + b ≥  2\sqrt{ab}`

`b + c ≥ 2\sqrt{bc}`

`c + a ≥ 2\sqrt{ca}`

`=> (a+b)(b+c)(c + a) ≥ 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc`

Dấu "=" xẩy ra

`<=> a = b =c`

`=> Δ ` đo là `Δ` đều

Giải thích các bước giải:

Sửa đề: $(a+b)(b+c)(c+a)=8abc$

Do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác $→a,b,c>0$

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

$a+b≥2\sqrt{ab}$

$b+c≥2\sqrt{bc}$

$c+a≥2\sqrt{ac}$

$→(a+b)(b+c)(c+a)≥2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}$

$→(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc$

$→$ Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

$→ΔABC$ đều