GIÚP MÌNH VỚI Ạ !! Trong không gian với hệ tọa độ oxyz, cho đường thẳng ∆:$\frac{x+1}{2}$ =$\frac{y}{3}$ =$\frac{z+1}{4}$ và 2 điểm A(1,2,-1), B(3,-1,-5). Viết phương trình đường thẳng d đi qua diểm A và cắt đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. vậy phương trình của d là:

Đáp án:

Gọi giao điểm của d và ∆ là điểm M (2t-1; 3t; 4t-1)

$\begin{array}{l}
Do:{d_{B - d}} \le BA\forall t\\
 \Rightarrow {d_{max}} = BA\\
 \Rightarrow BA \bot d\\
 \Rightarrow BA \bot MA\\
Co:\overrightarrow {BA}  = \left( { - 2;3;4} \right);\\
\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - 2t + 1;2 - 3t; - 1 - 4t + 1} \right) = \left( {2 - 2t;2 - 3t; - 4t} \right)\\
 \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MA}  = 0\\
 \Rightarrow  - 2\left( {2 - 2t} \right) + 3\left( {2 - 3t} \right) + 4.\left( { - 4t} \right) = 0\\
 \Rightarrow t = \frac{2}{{21}}\\
 \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( {\frac{{38}}{{21}};\frac{{12}}{7}; - \frac{8}{{21}}} \right)\\
 \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {38;36; - 8} \right)hay\,\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {19;18; - 4} \right)\\
 \Rightarrow d:\frac{{x - 1}}{{19}} = \frac{{y - 2}}{{18}} = \frac{{x + 1}}{{ - 4}}
\end{array}$