Giúp mình câu giải câu này với ạ. Mình xin cám ơn Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)= $\frac{1}{1+\sqrt[]{x} }$ và F(0)=-1. Tính F(9)-2F(1)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

$F(9)- 2F(1)=  3$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\quad F(x) = \displaystyle\int f(x)dx$

$\to F(x)= \displaystyle\int\dfrac{1}{1+\sqrt x}dx$

Đặt $u = \sqrt x$

$\to du = \dfrac{1}{2\sqrt x}dx$

Ta được:

$\quad F(x)= 2\displaystyle\int\dfrac{u}{u +1}du$

$\to F(x)= 2\displaystyle\int\left(1-\dfrac{1}{u+1}\right)du$

$\to F(x)= 2\displaystyle\int du - 2\displaystyle\int\dfrac{1}{u+1}du$

$\to F(x)= 2u - 2\ln|u +1| + C$

$\to F(x)= 2\sqrt x - 2\ln|\sqrt x +1| + C$

Ta lại có:

$\quad F(0)= -1$

$\to 2\sqrt 0 - 2\ln|\sqrt 0 +1| + C = -1$

$\to C = -1$

$\to F(x)= 2\sqrt x - 2\ln(\sqrt x +1) -1$

Khi đó:

$\quad F(9)- 2F(1)= 2\sqrt 9 - 2\ln(\sqrt 9 +1) - 1 - 2[2\sqrt 1 - 2\ln(\sqrt 1 +1) - 1]$

$\to F(9) - 2F(1)= 5 - 4\ln2- 2(1- 2\ln2)$

$\to F(9)- 2F(1)=  3$