Giúp em câu này với ạ - Cho x,y là các số thực thỏa mãn (4x^2 + 1)*X+(y-3)*√5-2y =0 tìm giá trị nhỏ nhất của P=x^2 +y^2

Đáp án: GTNN của P = 19/16 khi x = (3√2)/4 ; y = 1/4

Giải thích các bước giải: Điều kiện 5 - 2y ≥ 0 ⇔ y ≤ 5/2

(4x² + 1)x + (y - 3)√(5 - 2y) = 0

⇔ 2x(4x² + 1) + (2y - 6)√(5 - 2y) = 0

⇔ 2x(4x² + 1) = (5 - 2y + 1)√(5 - 2y)

⇔ 2x(4x² + 1) = √(5 - 2y).[√(5 - 2y)² + 1] (1)

Xét hàm f(t) = t(t² + 1) = t³ + t  liên tục với mọi t∈R

⇒ f'(t) = 3t² + 1 > 0 ⇒ f(t) là hàm số tăng với mọi t∈R

⇒ f(t1) = f(t2) ⇔ t1 = t2 (2)

Với t1 = 2x; t2 = √(5 - 2y)  thì từ (1) và (2) suy ra :

2x = √(5 - 2y) ⇔ 4x² = 5 - 2y (x ≥ 0)

Ta có :

4P = 4x² + 4y² = 5 - 2y + 4y² = 19/4 + (1/2)² - 2(1/2)(2y) + 4y² = 19/4 + (1/2 - 2y)² ≥ 19/4

⇒ GTNN của P = 19/16 ⇔ 1/2 - 2y = 0 ⇔ y = 1/4 ⇒ 4x² = 5 - 1/2 = 9/2 ⇒ x = (3√2)/4 (thỏa)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$5 - 2y ≥ 0 ⇔ y ≤ 5/2$

$(4x² + 1)x + (y - 3)√(5 - 2y) = 0$

$⇔ 2x(4x² + 1) + (2y - 6)√(5 - 2y) = 0$

$⇔ 2x(4x² + 1) = (5 - 2y + 1)√(5 - 2y)$

$⇔ 2x(4x² + 1) = √(5 - 2y).[√(5 - 2y)² + 1] (1)$

Xét hàm $f(t) = t(t² + 1) = t³ + t$  liên tục với mọi $t∈R$

$⇒ f'(t) = 3t² + 1 > 0 ⇒ f(t)$ là hàm số tăng với mọi $t∈R$

$⇒ f(t1) = f(t2) ⇔ t1 = t2 (2)$

$t1 = 2x; t2 = √(5 - 2y)$ 

$2x = √(5 - 2y) ⇔ 4x² = 5 - 2y (x ≥ 0)$

$4P = 4x² + 4y² = 5 - 2y + 4y² = 19/4 + (1/2)² - 2(1/2)(2y) + 4y² = 19/4 + (1/2 - 2y)² ≥ 19/4$

$⇒P = 19/16 ⇔ 1/2 - 2y = 0 ⇔ y = 1/4 ⇒ 4x² = 5 - 1/2 = 9/2 ⇒ x = (3√2)/4$ (thỏa mãn)