giúp em câu này ạ : /z/(z+2)+10=15i có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện trên:

Đáp án:

$1$ số phức $z$

Giải thích các bước giải:

Đặt $z = a + bi\ \ (a,\ b\in \Bbb R)$

Ta có:

$\quad |z|(z + 2) + 10 = 15i$

$\to \sqrt{a^2 + b^2}(a + 2 + bi) +10 = 15i$

$\to (a+2)\sqrt{a^2 + b^2} + 10 + b\sqrt{a^2 + b^2}i = 15i$

$\to \begin{cases}(a+2)\sqrt{a^2 + b^2} + 10 = 0\\b\sqrt{a^2 + b^2} = 15\end{cases}$

$\to 3(a+2)\sqrt{a^2 + b^2} + 2b\sqrt{a^2 +b^2} = 0$

$\to \sqrt{a^2 + b^2}\left[3(a+2) + 2b\right] = 0$

$\to 3a + 6 + 2b = 0$

$\to a = - \dfrac{2b}{3} - 2$

$\to \begin{cases}b > 0\\b^2\left[\left(\dfrac{2b}{3} + 2\right)^2 + b^2\right]= 225\end{cases}$

$\to \begin{cases}b > 0\\13b^4 + 24b^3 + 36b^2 - 2025 = 0\end{cases}$

$\to \begin{cases}b > 0\\\left[\begin{array}{l}b = 3\quad (nhận)\\b = - 3,8522\quad (loại)\end{array}\right.\end{cases}$

$\to b = 3$

$\to a = -4$

Vậy $z = - 4 + 3i$