Giải pt sau: a. 2^(x-1)-2^(x^2-x)=(x-1)^2 b. 2021^(sin^2 x)-2021^(cos^2 x)=cos2x Cần lời giải rõ ràng, chi tiết ạ

Đáp án + Giải thích các bước giải:

`a.` 

` 2^(x-1)-2^(x^2-x)=(x-1)^2` $(1)$

`<=>2^(x-1)-2^(x^2-x)=x^2-2x+1`

`<=>2^(x-1)+x-1=2^(x^2-x)+x^2-2`

Xét `f(t)=2^t+t(t inRR)`

Ta có: `f'(t)=2^tln2+1>0AAt inRR`

`=>f(t)` đồng biến trên `RR`

$(1)$`<=>f(x-1)=f(x^2-x)`

`<=>x-1=x^2-x`

`<=>x^2-2x+1=0`

`<=>x=1`

Vậy phương trình có nghiệm `x=1`

`b.`

`2021^(sin^2 x)-2021^(cos^2 x)=cos2x`

`<=>``2021^(sin^2 x)-2021^(cos^2 x)=cos^2x-sin^2x`

`<=>2021^(sin^2 x)+sin^2x=2021^(cos^2 x)+cos^2x`

Xét hàm số `f(t)=2021^t+t(t>=0)`

Ta có: `f'(t)=2021^tln2021+1>0,AAt>=0`

`=>f(t)` đồng biến trên `[0;+oo)`

`(1)<=>f(sin^2x)=f(cos^2x)`

`<=>sin^2x=cos^2x`

`<=>cos^2x-sin^2x=0`

`<=>cos2x=0`

`<=>2x=pi/2+kpi`

`<=>x=pi/4+(kpi)/2(kinZZ)`

Vậy phương trình có nghiệm `x=pi/4+(kpi)/2(kinZZ)`