Giải pt: `log_2 \frac{x²+2}{3x+4} = -x² +6x+7`

Đáp án:

$S = \left\{ {3 + \sqrt {15} ;3 - \sqrt {15} } \right\}$

Giải thích các bước giải:

TXĐ: $D=\left( {\dfrac{{ - 4}}{3}; + \infty } \right)$

 Ta có:

$\begin{array}{l} {\log _2}\dfrac{{{x^2} + 2}}{{3x + 4}} =  - {x^2} + 6x + 7\\  \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right) - {\log _2}\left( {3x + 4} \right) =  - {x^2} + 6x + 7\\  \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = {\log _2}\left( {3x + 4} \right) + 2\left( {3x + 4} \right) + 1\\  \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right) - 1 + {x^2} + 2 = {\log _2}\left( {3x + 4} \right) + 2\left( {3x + 4} \right)\\  \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{{x^2} + 2}}{2} + {x^2} + 2 = {\log _2}\left( {3x + 4} \right) + 2\left( {3x + 4} \right) (1) \end{array}$

Xét hàm $f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t,t \in \left( {0; + \infty } \right)$ ta có:

$f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 2 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)$

Như vậy: Hàm $f(t)$ luôn đồng biến trên $(0;+\infty)$

Nên ta có:

$\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 2}}{2} = 3x + 4\\  \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 6 = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 + \sqrt {15} \\ x = 3 - \sqrt {15}  \end{array} \right.\left( {tm} \right) \end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ {3 + \sqrt {15} ;3 - \sqrt {15} } \right\}$

Đáp án:

$S = \left\{3 - \sqrt{15};3 + \sqrt{15}\right\}$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l} \quad \log_2\dfrac{x^2 + 2}{3x+4} = -x^2 + 6x + 7\qquad \left(DK:x> -\dfrac43\right)\\ \Leftrightarrow \log_2(x^2 + 2) +x^2 +2 = \log_2(3x + 4) +6x + 9\\ \Leftrightarrow \log_2(x^2 + 2) + x^2 + 2 = \log_2(6x + 8) + 6x + 8\qquad (*)\\ \text{Xét}\ f(t) = \log_2t + t,\ \ t > 0\\ \Rightarrow f'(t) = \dfrac{1}{t\ln2} + 1 >0\quad \forall t \in (0;+\infty)\\ \Rightarrow f(t)\ \text{đồng biến trên $(0;+\infty)$}\\ \text{Do đó:}\\ (*)\Leftrightarrow f(x^2 + 2) = f(6x + 8)\quad \text{(hàm đặc trưng, đồng biến)}\\ \Leftrightarrow x^2 + 2 = 6x + 8\\ \Leftrightarrow x^2 - 6x - 6 =0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 3 - \sqrt{15}\\x = 3 + \sqrt{15}\end{array}\right.\quad \text{(nhận)}\\ \text{Vậy}\ S = \left\{3 - \sqrt{15};3 + \sqrt{15}\right\} \end{array}$