Giải pt: `log_2 \frac{x²+2}{3x+4} = -x² +6x+7`

Đáp án:

$S = \left\{ {3 + \sqrt {15} ;3 - \sqrt {15} } \right\}$

Giải thích các bước giải:

TXĐ: $D=\left( {\dfrac{{ - 4}}{3}; + \infty } \right)$

 Ta có:

$\begin{array}{l}
{\log _2}\dfrac{{{x^2} + 2}}{{3x + 4}} =  - {x^2} + 6x + 7\\
 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right) - {\log _2}\left( {3x + 4} \right) =  - {x^2} + 6x + 7\\
 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = {\log _2}\left( {3x + 4} \right) + 2\left( {3x + 4} \right) + 1\\
 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + 2} \right) - 1 + {x^2} + 2 = {\log _2}\left( {3x + 4} \right) + 2\left( {3x + 4} \right)\\
 \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{{x^2} + 2}}{2} + {x^2} + 2 = {\log _2}\left( {3x + 4} \right) + 2\left( {3x + 4} \right) (1)
\end{array}$

Xét hàm $f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t,t \in \left( {0; + \infty } \right)$ ta có:

$f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 2 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)$

Như vậy: Hàm $f(t)$ luôn đồng biến trên $(0;+\infty)$

Nên ta có:

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 2}}{2} = 3x + 4\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 6 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3 + \sqrt {15} \\
x = 3 - \sqrt {15} 
\end{array} \right.\left( {tm} \right)
\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ {3 + \sqrt {15} ;3 - \sqrt {15} } \right\}$

Đáp án:

\(S = \left\{3 - \sqrt{15};3 + \sqrt{15}\right\}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\quad \log_2\dfrac{x^2 + 2}{3x+4} = -x^2 + 6x + 7\qquad \left(DK:x> -\dfrac43\right)\\
\Leftrightarrow \log_2(x^2 + 2) +x^2 +2 = \log_2(3x + 4) +6x + 9\\
\Leftrightarrow \log_2(x^2 + 2) + x^2 + 2 = \log_2(6x + 8) + 6x + 8\qquad (*)\\
\text{Xét}\ f(t) = \log_2t + t,\ \ t > 0\\
\Rightarrow f'(t) = \dfrac{1}{t\ln2} + 1 >0\quad \forall t \in (0;+\infty)\\
\Rightarrow f(t)\ \text{đồng biến trên $(0;+\infty)$}\\
\text{Do đó:}\\
(*)\Leftrightarrow f(x^2 + 2) = f(6x + 8)\quad \text{(hàm đặc trưng, đồng biến)}\\
\Leftrightarrow x^2 + 2 = 6x + 8\\
\Leftrightarrow x^2 - 6x - 6 =0\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 3 - \sqrt{15}\\x = 3 + \sqrt{15}\end{array}\right.\quad \text{(nhận)}\\
\text{Vậy}\ S = \left\{3 - \sqrt{15};3 + \sqrt{15}\right\}
\end{array}\)