Giải phương trình sau: $y''-y'=e^x+e^{2x}+x$

Lời giải:

Phương trình $y''-y'=e^x+e^{2x}+x$ có phương trình đặc trưng là $k^2-k=0$ với hai nghiệm thực $k_1=0,k_2=1$.Do đó phương trình thuần nhất tương ứng có nghiệm tổng quát là:

$y=C_1+C_2e^x$
Để tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho ta cần tìm các nghiệm riêng của phương trình:
$y''-y'=e^x(*)$
$y''-y'=e^{2x}(**)$
$y''-y'=x(***)$
Tương tự,ta có:
$(*)$ có một nghiệm riêng là $y=x.e^x$
$(**)$ có một nghiệm riêng là $y=\frac{1}{2}.e^{2x}$
$(***)$ có một nghiệm riêng là $y=-\frac{1}{2}.x^2-x$
Do đó phương trình đã cho có nghiệm riêng là:
$y=x.e^x+\frac{1}{2}.e^{2x}-\frac{1}{2}.x^2-x$
Suy ra phương trình có nghiệm tổng quát là:
$y=x.e^x+\frac{1}{2}.e^{2x}-\frac{1}{2}.x^2-x+C_1+C_2.e^x$