Giải phương trình sau: $x^{2}$-x-18+(2x+9)$\sqrt[2]{x+3}$-2$\sqrt[2]{5x-1}$=0

Đáp án: $x=1$

Giải thích các bước giải:

${{x}^{2}}-x-18+\left( 2x+9 \right)\sqrt{x+3}-2\sqrt{5x-1}=0$   (ĐK: $x\ge \dfrac{1}{5}$)

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-18+\left( 2x+7 \right)\sqrt{x+3}+2\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{5x-1} \right)=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-18+\left( 2x+7 \right)\left( \sqrt{x+3}-2+2 \right)+2\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{5x-1} \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)+\left( 2x+7 \right)\left( \sqrt{x+3}-2 \right)+2\left( \sqrt{x+3}-\sqrt{5x-1} \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x+4 \right)+\left( 2x+7 \right)\cdot \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}+2\cdot \dfrac{-4\left( x-1 \right)}{\sqrt{x+3}+\sqrt{5x-1}}=0$

$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ x+4+\dfrac{2x+7}{\sqrt{x+3}+2}-\dfrac{8}{\sqrt{x+3}+\sqrt{5x-1}} \right]=0$

$\Leftrightarrow x=1$   hoặc   $x+4+\dfrac{2x+7}{\sqrt{x+3}+2}=\dfrac{8}{\sqrt{x+3}+\sqrt{5x-1}}$

Xét pt $x+4+\dfrac{2x+7}{\sqrt{x+3}+2}=\dfrac{8}{\sqrt{x+3}+\sqrt{5x-1}}$

Nhận xét với $x\ge \dfrac{1}{5}$ thì $VP=\dfrac{8}{\sqrt{x+3}+\sqrt{5x-1}}\le 2\sqrt{5}$

Còn với $VT=x+4+\dfrac{2x+7}{\sqrt{x+3}+2}$

Xét $2x+7-\left( \sqrt{x+3}+2 \right)$

$=\left( x+3-\sqrt{x+3}+\dfrac{1}{4} \right)+x+\dfrac{7}{4}$

$={{\left( \sqrt{x+3}-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+x+\dfrac{7}{4}>0\forall x\ge \dfrac{1}{5}$

$\Rightarrow 2x+7>\sqrt{x+3}+2$

$\Rightarrow \dfrac{2x+7}{\sqrt{x+3}+2}>1$

$\Rightarrow x+4+\dfrac{2x+7}{\sqrt{x+3}+2}>5$

$\Rightarrow VT>5$

Vì $VT>5$ ; $VP\le 2\sqrt{5}$ nên pt vô nghiệm

Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất