giải phương trình sau: (2+√ 3)^x+(2+√ 3)^(-x)=14

Đáp án:

$S =\{-2;2\}$

Giải thích các bước giải:

$\quad (2+\sqrt3)^x +(2+\sqrt3)^{-x}=14$

Đặt $t = (2+\sqrt3)^x \qquad (t > 0)$

Phương trình trở thành:

$\quad t+\dfrac1t = 14$

$\to t^2 - 14t + 1 = 0$

$\to \left[\begin{array}{l}t = 7 - 4\sqrt3\\t = 7 + 4\sqrt3\end{array}\right.$

Với $t = 7 - 4\sqrt3$ ta được:

$\quad (2+\sqrt3)^x = 7 - 4\sqrt3$

$\to (2+\sqrt3)^x = \dfrac{1}{(2-\sqrt3)^2}$

$\to x =-2$

Với $t = 7 + 4\sqrt3$ ta được:

$\quad (2+\sqrt3)^x = 7 +4\sqrt3$

$\to ( 2+\sqrt3)^x = (2+\sqrt3)^2$

$\to x = 2$

Vậy $S =\{-2;2\}$

Đáp án:

$S = \left\{ { - 2;2} \right\}$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}} = 14\\
 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}} = 14\left( 1 \right)
\end{array}$

Đặt ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = t\left( {t > 0} \right)$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right)tt:t + \dfrac{1}{t} = 14\\
 \Leftrightarrow {t^2} - 14t + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 7 + 4\sqrt 3 \\
t = 7 - 4\sqrt 3 
\end{array} \right.
\end{array}$

$ + )TH1:t = 7 + 4\sqrt 3 $

Hay ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 7 + 4\sqrt 3 $

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2}\\
 \Leftrightarrow x = 2\\
 + )TH2:t = 7 - 4\sqrt 3 
\end{array}$

Hay ${\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = 7 - 4\sqrt 3 $

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}\\
 \Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2}}\\
 \Leftrightarrow x =  - 2
\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ { - 2;2} \right\}$