giải phương trình nghiệm nguyên x+y+1=xyz

Đáp án:

$\{(0, -1, z), (-1, 0, z), (1,1,3), (-1, -1, -1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-2, -1,-1), (-1, 0, -2), (1, 2, 2), (2, 3, 1), (-1, -2, -1), (0, -1, -2), (2, 1, 2), (3, 2, 1)\}$ với $z$ nguyên tùy ý

Lời giải:

TH1: $x = 0$

Khi đó, phương trình trở thành

$y + 1 = 0$

$\Leftrightarrow y = -1$

và $z$ tùy ý.

Khi đó nghiệm của phương trình trong trường hợp này là $(0, -1, z)$ với $z$ nguyên tùy ý.

TH2: $y = 0$

Tương tự, nghiệm của phương trình trong trường hợp này là $(-1, 0, z)$ với $z$ nguyên tùy ý.

TH3: $xy \neq 0$

Khi đó, chia cả 2  vế của phương trình cho $xy$ ta có

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{xy} = z$

$\Leftrightarrow \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{y} \right) = z + 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{x+1}{x} . \dfrac{y+1}{y} = z + 1$

Do vế phải là số nguyên nên vế trái cũng phải là số nguyên. Mặt khác, $x + 1$ và $x$ là 2 số nguyên liên tiếp, $y + 1$ và $y$ cũng vậy. Do đó, để là số nguyên thì ta phải có

- $x + 1$ chia hết cho $x$ và $y + 1$ chia hết cho $y$.
hoặc

- $x +1$ chia hết cho $y$ và $y + 1$ chia hết cho $x$.

TH3.1: $x + 1$ chia hết cho $x$ và $y + 1$ chia hết cho $y$

Ta thấy 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho nhau khi và chỉ khi số bé hơn bằng $\pm 1$, tức là $x$ và $y$ bằng $\pm 1$.

+ Nếu $x = y = 1$ thì ta có $z= 3$, suy ra nghiệm là $(1,1,3)$.

+ Nếu $x = y = -1$ thì ta có $z =-1$, suy ra nghiệm $(-1, -1, -1)$.

+ Nếu $x = 1, y = -1$ thì ta có $z = -1$, suy ra nghiệm $(1, -1, -1)$.

+ Nếu $x = -1, y = 1$ thì ta có $z = -1$, suy ra nghiệm $(-1, 1, -1)$.

TH3.2: $x +1$ chia hết cho $y$ và $y + 1$ chia hết cho $x$

Từ đó suy ra $x + 1 \geq y$ và $y + 1 \geq x$.

TH3.2.1: $x + 1 = y$ và $y + 1 = x$

Từ đó suy ra $x + 2 = x$ (vô lý)

TH3.2.2: $x + 1 = y$ và $y + 1 > x$

Thay vào phương trình ta có

$\dfrac{x+2}{x} = z + 1$

$\Leftrightarrow 1 + \dfrac{2}{x} = z + 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{x} = z$

Do đó $x \in Ư(2) = \{ \pm 1, \pm 2\}$.

Thế vào, suy ra tập nghiệm là

$\{(-2, -1, -1), (-1, 0, -2), (1, 2, 2), (2, 3, 1)\}$.

TH3.2.3: $x + 1 > y$ và $y + 1 = x$

Thay vào phương trình ta có

$\dfrac{y+2}{y} = z + 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{y} = z$

Làm tương tự trường hợp trên ta có

$\{(-1, -2, -1), (0, -1, -2), (2, 1, 2), (3, 2, 1)\}$.

TH3.2.4: $x + 1 > y$ và $y + 1 > x$

Suy ra $x \geq y$ và $y \geq x$

Khi đó phương trình trở thành

$\left( \dfrac{x+1}{x} \right)^2 = z + 1$

Do vế phải là số nguyên nên vế trái cũng phải là số nguyên, vậy $x + 1$ chia hết cho $x$, do đó $x = \pm 1$, suy ra $y = \pm 1$. Trường hợp này đã xét ở TH2.1.

Tóm lại, tập nghiệm của phương trình là

$\{(0, -1, z), (-1, 0, z), (1,1,3), (-1, -1, -1), (1, -1, -1), (-1, 1, -1), (-2, -1,-1), (-1, 0, -2), (1, 2, 2), (2, 3, 1), (-1, -2, -1), (0, -1, -2), (2, 1, 2), (3, 2, 1)\}$ với $z$ nguyên tùy ý.