Giải phương trình nghiệm nguyên sau: $2^{x}$ + $3^{x}$ = $5^{x}$

Đáp án: $ x = 1$

Giải thích các bước giải:

- Nhận thấy $ x = 0$ ko thỏa mãn PT

Với mọi $ 0 < a < 1 $ và mọi $x$ nguyên $\neq 0$ ta có:

- Nếu $ x > 0 => a^{x} =< a$. Dấu $"=" <=> x = 1$

$ => (\dfrac{2}{5})^{x} + (\dfrac{3}{5})^{x} =< \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} = 1$

$ <=> 2^{x} + 3^{x} =< 5^{x} $. Dấu $' = " <=> x = 1 (1)$

- Nếu $ x < 0 => - x > 0 => a^{x} = \dfrac{1}{a^{- x}} >= \dfrac{1}{a}$

$ => (\dfrac{2}{5})^{x} + (\dfrac{3}{5})^{x} >= \dfrac{5}{2} + \dfrac{5}{3} > 1$

$ <=> 2^{x} + 3^{x} > 5^{x} => $ ko có $ x < 0 TM (2)$

Từ $(1); (2) => x = 1$ là nghiệm nguyên duy nhất của PT