Giải phương trình lượng giác trên tập số phức: `sinx=2` Các chuyên gia, anh chị hay bạn nào chuyên toán phần số phức giúp mình với, cảm ơn nhiều ạ
1 câu trả lời
Đáp án:
$x = \dfrac{\pi}{2} \pm i\ln\left(2+\sqrt3\right) + k2\pi\quad (k\in\Bbb Z)$
Giải thích các bước giải:
Theo công thức $Euler$ ta có:
$\begin{cases}e^{ix}= \cos x + i\sin x\\e^{-ix}= \cos x - i\sin x\end{cases}$
$\Rightarrow \sin x = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$
Do đó:
$\quad \sin x = 2$
$\Leftrightarrow \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} = 2$
$\Leftrightarrow e^{2ix} - 4ie^{ix} - 1 = 0$
$\Leftrightarrow e^{ix} = i\left(2\pm \sqrt3\right)$
$\Leftrightarrow ix = \ln(i) + \ln\left(2 \pm \sqrt3\right)$
$\Leftrightarrow ix = \dfrac{i\pi}{2} \pm \ln\left(2+\sqrt3\right)$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \pm i\ln\left(2+\sqrt3\right)$
Do $x$ là nghiệm của phương trình hàm $\sin$
nên tất cả các nghiệm của phương trình là:
$x = \dfrac{\pi}{2} \pm i\ln\left(2+\sqrt3\right) + k2\pi\quad (k\in\Bbb Z)$