Giải phương trình: $\sqrt{3x^2+1}+\sqrt[3]{2-x^3}=\dfrac{3}{2}(x+1)$ Giải bằng phương pháp đánh giá ạ, em không hiểu cho lắm :(

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$ PT <=> 2\sqrt{3x^{2} + 1} + 2\sqrt[3]{2 - x^{3}} = 3x + 3$

$ <=> 2(\sqrt{3x^{2} + 1} - 2) - 3(x - 1) - 2(1 - \sqrt[3]{2 - x^{3}}) =  0$

$ <=> \dfrac{6(x^{2} - 1)}{\sqrt{3x^{2} + 1} + 2} - 3(x - 1) - \dfrac{2(x^{3} - 1)}{1 + \sqrt[3]{2 - x^{3}} + \sqrt[3]{(2 - x^{3})^{2}}} = 0$

$ <=> (x - 1)[\dfrac{6(x + 1)}{\sqrt{3x^{2} + 1} + 2} - 3 - \dfrac{2(x^{2} + x + 1)}{1 + \sqrt[3]{2 - x^{3}} + \sqrt[3]{(2 - x^{3})^{2}}}] = 0$

$ <=> (x - 1)[\dfrac{3(2x - \sqrt{3x^{2} + 1})}{\sqrt{3x^{2} + 1} + 2} - \dfrac{2(x^{2} + x + 1)}{1 + \sqrt[3]{2 - x^{3}} + \sqrt[3]{(2 - x^{3})^{2}}}] = 0$
- TH1 $: x - 1 = 0 <=> x = 1$
- TH2 :

$ \dfrac{3(2x - \sqrt{3x^{2} + 1})}{\sqrt{3x^{2} + 1} + 2} - \dfrac{2(x^{2} + x + 1)}{1 + \sqrt[3]{2 - x^{3}} + \sqrt[3]{(2 - x^{3})^{2}}} = 0 (*)$

Dùng PP đánh giá

+ Xét $ x =< 0 => VT < 0 => VN$
+ Xét $ x > 0 $
$ => (*) <=>  \dfrac{3(x^{2} - 1)}{(2x + \sqrt{3x^{2} + 1})(\sqrt{3x^{2} + 1} + 2)} = \dfrac{2(x^{2} + x + 1)}{1 + \sqrt[3]{2 - x^{3})} + \sqrt[3]{(2 - x^{3})^{2}}} (**)$

- Nếu $ 0 < x =< 1 => VT =< 0; VP > 0 => VN$ 

- Nếu $ x > 1 => \sqrt{2 - x^{3}} < 1$

$ (**) <=> \dfrac{(3x^{2} + 1) - 4}{3x^{2} + 1 + 2(x + 1)\sqrt{3x^{2} + 1} + 4x} = \dfrac{2(x^{2} + x + 1)}{1 + \sqrt[3]{2 - x^{3}} + \sqrt[3]{(2 - x^{3})^{2}}} $

$ => VT < 1; VP > 2 => VN$
KL : PT có nghiệm duy nhất $ x = 1$