Giải lý $\dfrac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2)$ trên tập số thực

Đáp án:

\[\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2)\] \[\Leftrightarrow (x-2)(x+4)=\frac{(x+1)(x^2-2x+3)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2(TM) & & \\ (x+4)[\sqrt{x+2}+2]=(x+1)[(x-1)^2+2](1) & & \end{bmatrix}\]

\[(1)\Leftrightarrow (x+4)\sqrt{x+2}+2(x+4)=(x+1)(x-1)^2+2(x+1)\]

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=\sqrt{x+2}(u\geq 0) & & \\ v=x-1(v\geq -3) & & \end{matrix}\right.$

\[\Rightarrow (u^2+2)u+2(u^2+2)=(v+2)v^2+2(v+2)\] \[\Leftrightarrow u^3+2u^2+2u+4=v^3+2v^2+2v+4(2)\]

Xét hàm số $f(t)=t^3+2t^2+2t+4;t\in[-3;+\infty ]\Rightarrow f(t')=3t^2+4t+2>0$

$\Rightarrow f(t)$ là hàm số đồng biến trên $[-3;+\infty ]$

\[\Rightarrow f(u)=f(v)\Leftrightarrow u=v\Rightarrow \sqrt{x+2}=x-1\Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\]