Giải hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l} x_1+6x_2+2x_3-5x_4-2x_5=-4 \\ 2x_1+12x_2+6x_3-18x_4-5x_5=-5 \\ 3x_1+18x_2+8x_3-23x_4-6x_5=-2 \end{array}\right.$

Lời giải:

Ta có:

$\overline{A}=$$\left(\begin{array}{ccc}1&6&2&-5&-2&|-4\\2&12&6&-18&-5&|-5\\3&18&8&-23&-6&|-2\end{array}\right)$ 
$->$$\left(\begin{array}{ccc}1&6&2&-5&-2&|-4\\0&0&2&-8&-1&|3\\0&0&2&-8&0&|10\end{array}\right)$ 
$->$$\left(\begin{array}{ccc}1&6&2&-5&-2&|-4\\0&0&2&-8&-1&|3\\0&0&0&0&1&|7\end{array}\right)$ 
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
$\left\{\begin{array}{l}
x_1+6x_2+2x_3-5x_4-2x_5=-4 \\
         2x_3-8x_4- x_5 =3 \\
x_5=7
\end{array}\right.$
Đặt $x_2=\alpha∈R,x_4=\beta∈R$ và thế vào hệ ta được:
$\left\{\begin{array}{l}
x_1=-6\alpha-3\beta \\
x_3=5+4\beta\\
x_5=7
\end{array}\right.$
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dưới dạng:
$(x_1;x_2;x_3;x_4;x_5)=(-6\alpha-3\beta;\alpha;5+4\beta;\beta;7)(\alpha,\beta∈R)$