Giải giúp mình: Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a, chiều cao AH. Quay đường tròn (C) xung quanh trục AH, ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là?

Đáp án: $\frac{27\pi\sqrt[]{3}}{16}a^{3}$

Giải thích các bước giải:

ΔABC đều ⇒ đường cao AH cũng là đường phân giác, đường trung tuyến

⇒ BH = $\frac{a}{2}$ 

ΔABH vuông tại H

⇒ AH = $\sqrt[]{AB^{2}-BH^{2}}$ = $\sqrt[]{a^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}$ = $\frac{\sqrt[]{3}}{2}$a

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC đều nên O là trọng tâm ΔABC

⇒ OA = $\frac{2}{3}$AH = $\frac{2}{3}$.$\frac{\sqrt[]{3}}{2}$a = $\frac{\sqrt[]{3}}{3}$a

Khối cầu thu được có R = OA = $\frac{\sqrt[]{3}}{3}$a

Thể tích khối cầu là:

V = $\frac{4}{3}.\pi.R^{3}$ = $\frac{4}{3}\pi.(\frac{\sqrt[]{3}}{3}a)^{3}$ = $\frac{4\pi\sqrt[]{3}}{27}a^{3}$