Giải giúp em hai câu này với ạ em cảm ơn nhìu ạ Câu 1: Xác định giá trị của m để hàm số y=-2x ³ +3mx ²-1 đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 Câu 2: Tìm giá trị của m để hàm số y=2/3x^3-m-1/2x^2-(m^2+m)x-1 nghịch biến trên độ dài > 3

Đáp án:

Câu 1: $m\in (-\infty;-1)\cup (1;+\infty)$

Câu 2: $m \in \left(-\infty;-\dfrac73\right)\cup \left(\dfrac53;+\infty\right)$

Giải thích các bước giải:

Câu 1:

$\quad y = -2x^3 + 3mx^2 - 1$

$TXD: D =\Bbb R$

$\quad y' = -6x^2 + 6mx$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = -m\end{array}\right.$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow m\ne 0$

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn `1`

$\Leftrightarrow |x_1 - x_2| >1$

$\Leftrightarrow (x_1 - x_2)^2 >1$

$\Leftrightarrow (0 + m)^2 >1$

$\Leftrightarrow m^2 >1$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m >1\\m < -1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow m\in (-\infty;-1)\cup (1;+\infty)$

Câu 2:

$\quad y = \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{m-1}{2}x^2 - (m^2 + m)x  -1 $

$TXD: D = \Bbb R$

$\quad y' = 2x^2 - (m-1)x - (m^2 + m)$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}>0$

$\Leftrightarrow (m-1)^2 + 8(m^2 + m) >0$

$\Leftrightarrow (3m + 1)^2 >0$

$\Leftrightarrow m \ne - \dfrac13$

Khi đó hàm số có hai điểm cực trị $x_1,\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac{m-1}{2}\\x_1x_2 = - \dfrac{m^2 + m}{2}\end{cases}$

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn `3`

$\Leftrightarrow |x_1 - x_2| >3$

$\Leftrightarrow (x_1 - x_2)^2 >9$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 >9$

$\Leftrightarrow \dfrac{(m-1)^2}{4} + 4\cdot \dfrac{m^2 + m}{2} >9$

$\Leftrightarrow (m+1)^2 + 8(m^2 + m) >36$

$\Leftrightarrow (3m +1)^2 >36$

$\Leftrightarrow |3m + 1| >6$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}3m + 1 >6\\3m + 1 < -6\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m >\dfrac53\\m < -\dfrac73\end{array}\right.$ (nhận)

$\Leftrightarrow m \in \left(-\infty;-\dfrac73\right)\cup \left(\dfrac53;+\infty\right)$