giải giúp em câu tìm nguyên hàm đổi biến này với ạ: (sin^2x + 3cos^2x).sin2x Em cảm ơn ạ

Đáp án:

\[ - \frac{{{{\cos }^2}2x}}{4} - \cos 2x\]

Giải thích các bước giải:

 Đặt \(t = \cos 2x \Rightarrow dt =  - 2\sin 2xdx\)

\(\begin{array}{l}
\int {\left( {{{\sin }^2}x + 3{{\cos }^2}x} \right).\sin 2xdx} \\
 = \int {\left( {1 - {{\cos }^2}x + 3{{\cos }^2}x} \right).sin2xdx} \\
 = \int {\left( {1 + 2{{\cos }^2}x} \right)\sin 2xdx} \\
 = \int {\left( {\cos 2x + 2} \right).\sin 2xdx} \\
 = \int {\left( {t + 2} \right).\frac{{ - dt}}{2}} \\
 =  - \frac{1}{2}\int {\left( {t + 2} \right)dt} \\
 =  - \frac{1}{2}.\left( {\frac{{{t^2}}}{2} + 2t} \right) =  - \frac{{{t^2}}}{4} - t =  - \frac{{{{\cos }^2}2x}}{4} - \cos 2x
\end{array}\)