Giả sử z1, z2 là hai nghiệm phức của pt |(2+i)|z|z - (1-2i)z| = |1+3i| và |z1-z2| = 1. Tính M = |2z1+3z2|

Đáp án:

 $M=|2z_1+3z_2|=\sqrt {19}$

Giải thích các bước giải:

\(|(2+i)|z|z - (1-2i)z| = |1+3i|\)

\(\to\) \(\left|\left(2|z|-1\right)+\left(|z|+2\right)i\right|\cdot |z|=\sqrt {10}\)

\(\to |z|^2\cdot \left[\big(2|z|-1\big)^2+\big(|z|+2\big)^2\right]=10\\\to 5|z|^2+5|z|^4-10=0\\\to|z|=1(|z|\geqslant 0) \)

Gọi \(\left\{\begin{matrix} z_1=x_1+y_1i & \\ z_2=x_2+y_2i & \end{matrix}\right.\)

\(\to x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2=1\)

mà \(|z_1-z_2|=1\)

\(\to (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=1\)

$\to y_1y_2+x_1x_2=\dfrac 12$

Do đó: $M=|2z_1+3z_2|=\sqrt{(2x_1+3x_2)^2+(2y_1+3y_2)^2}$ 

$\to M=\sqrt{4\cdot(x_1^2+y_1^2)+9\cdot (y_1^2+y_2^2)+12\cdot (x_1x_2+y_1y_2)}$

$\to M=\sqrt {19}$

Vậy $M=\sqrt{19}$