Giả sử phương trình $z^{3} +c=0$ nhận $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$ là các nghiệm , biết rằng $z_{1}=3$. Giá trị $S=| z_{1}|+|z_{2}|+|z_{3}|$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

$S = 9$

Giải thích các bước giải:

$\quad z^3 + c = 0$

Ta có: $z_1 = 3$ là một nghiệm của phương trình

$\Leftrightarrow 3^3 + c = 0$

$\Leftrightarrow c = - 27$

Ta được:

$\quad z^3 - 27 = 0$

$\Leftrightarrow (z-3)(z^2 + 3z + 9) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}z_1 = 3\\z_2 = \dfrac{-3 + 3\sqrt3i}{2}\\z_3 = \dfrac{-3 -3\sqrt3i}{2}\end{array}\right.$

Khi đó:

$\quad |z_1| + |z_2| + |z_3|$

$= 3 + \sqrt{\left(-\dfrac32\right)^2 + \left(\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)^2} + \sqrt{\left(-\dfrac32\right)^2 + \left(-\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)^2} $

$= 3 + 3 + 3$

$= 9$

Vây $S = 9$