∫(e^2x).sin^2(x).dx ai đó giúp em với ạ.

Đáp án:

I=$0,5.e^{2x}-\frac{1}{4}.\sin 2x.e^{2x}-\frac{1}{4}.\cos 2x.e^{2x}+C$

Giải thích các bước giải:

I=$\int e^{2x}.\sin ^{2} xdx$

=$\int e^{2x}.\frac{1-\cos 2x}{2}dx$

=$0,5.\int e^{2x}.(1-\cos 2x)dx$

=$ 0.5.(0,5.e^{2x}-\int  e^{2x}.\cos  2xdx)$

=$0,25.e^{2x}-0,5 .I_{1} $

Tính $I_{1}=\int  e^{2x}.\cos  2xdx$

$\left\{\begin{matrix}
\\ u=e^{2x}
\\ dv=cos 2xdx
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix}
\\ du=2e^{2x}
\\ v=0,5.\sin 2xdx                  

\end{matrix}\right.$

$I_{1}=0,5.\sin 2x.e^{2x}-\int e^{2x}.\sin 2xdx=0,5.\sin 2x.e^{2x}-I_{2}$

tính $I_{2}=\int e^{2x}.\sin 2xdx$:

Đặt:$\left\{\begin{matrix}
\\ u=e^{2x}
\\ dv=\sin 2xdx
\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$

$\left\{\begin{matrix}
\\ du=2e^{2x}
\\ v=-0,5.\cos 2xdx
\end{matrix}\right.$

Suy ra $I_{2}=-0,5.\cos 2x.e^{2x}+\int e^{2x}.\cos 2xdx$

=$-0,5.\cos 2x.e^{2x}+I_{1}$

Do đó $I_{1}=0,25.\sin 2x.e^{2x}+0,25.\cos 2x.e^{2x}-I$

Suy ra I=$0,5.e^{2x}-\frac{1}{4}.\sin 2x.e^{2x}-\frac{1}{4}.\cos 2x.e^{2x}+C$