Dự đoán cấp n của hàm số ln(x + 1) và dùng quy nạp để chứng minh dự đoán đó đúng

$\quad y = \ln(x+1)\quad (x>-1)$

a) Ta có:

$\quad y' = \dfrac{1}{x+1}$

$\quad y'' = -\dfrac{1}{(x+1)^2}$

$\quad y''' = \dfrac{2}{(x+1)^3}$

b) Dự đoán:

$\quad y^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^n}$

Chứng minh:

+ Với $n = 1$ ta được:

$\quad y' = \dfrac{(-1)^0.0!}{x+1} = \dfrac{1}{x+1}$ (đúng)

+ Giả sử công thức đúng với $n = k:$

$\quad y^{(k)}= \dfrac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(x+1)^k}$

+ Ta cần chứng minh công thức đúng với $n = k +1$

Tức là: $y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^{k}k!}{(x+1)^{k+1}}$

Thật vậy, ta có:

$\quad y^{(k+1)}= \left[y^{(k)}\right]'$

$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= \left[\dfrac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(x+1)^k}\right]'$

$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}(k-1)!.[(x+1)^{-k}]'$

$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}.(k-1)!.(-k).(x+1)^{-k-1}$

$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= (-1)^{k-1}.(k-1)!.(-1).k\cdot \dfrac{1}{(x+1)^{k+1}}$

$\Leftrightarrow y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^kk!}{(x+1)^{k+1}}$

Vậy công thức $y^{(k+1)}= \dfrac{(-1)^kk!}{(x+1)^{k+1}}$ đúng

Do đó $y^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x+1)^n}\quad \forall n\in\Bbb N^*$

Đáp án:

${y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\left( {n - 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ - n}},n \ge 2$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Hàm số $y = \ln \left( {x + 1} \right)$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}
y' = \dfrac{1}{{x + 1}}\\
y'' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\
y''' = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}
\end{array} \right.$

Dự đoán: ${y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\left( {n - 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ - n}}(*),n \ge 2$

+) Ta thấy:

Công thức đúng $(*)$ với $n=2;3$

+) Giả sử công thức đúng với $n=k$ hay ${y^{\left( k \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{k - 1}}\left( {k - 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ - k}}$

+) Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n=k+1$ nghĩa là ${y^{\left( {k + 1} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^k}k!{\left( {x + 1} \right)^{ - \left( {k + 1} \right)}}$

Thật vậy:

$\begin{array}{l}
{y^{\left( {k + 1} \right)}} = \left( {{y^{\left( k \right)}}} \right)'\\
 = \left( {{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}\left( {k - 1} \right)!{{\left( {x + 1} \right)}^{ - k}}} \right)'\\
 = {\left( { - 1} \right)^{k - 1}}\left( {k - 1} \right)!.\left( { - k} \right).{\left( {x + 1} \right)^{ - k - 1}}\\
 = {\left( { - 1} \right)^{k - 1}}.\left( { - 1} \right).k\left( {k - 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ - k - 1}}\\
 = {\left( { - 1} \right)^k}k!{\left( {x + 1} \right)^{ - \left( {k + 1} \right)}}
\end{array}$

Như vậy:

Công thức $(*)$ đúng với $n=k+1$

$\to$ Ta có điều phải chứng minh

Vậy ${y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}\left( {n - 1} \right)!{\left( {x + 1} \right)^{ - n}},n \ge 2$