đồ thị hàm số y=x^3-(m-1)x^2+x+m-3 cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ,x2,x3 thỏa mãn x1 ²+x2 ²+x3 ²=10 . tìm đk của m

Đáp án:$m=1+2\sqrt{3}$

Giải thích các bước giải:

 $y=x^3-(m-1)x^2+x+m-3\\
=x^3-x^2-(m-2)x^2+(m-2)x-(m-3)x+m-3\\
=x^2.(x-1)-(m-2).x.(x-1)-(m-3)(x-1)=(x-1)[x^2-(m-2)x-(m-3)]$

Hoành độ giao điểm của y với trục Ox là nghiệm phương trình y=0

⇔$(x-1)[x^2-(m-2)x-(m-3)]=0(*)$

Phương trình (*) có 1 nghiệm là x=1

⇒ Để cắt tại 3 điểm thì phương trình $x^2-(m-2)x-(m-3)=0(1)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1

Phương trình (1) có nghiệm khác 1: $1-(m-2)-(m-3)\neq 0\Leftrightarrow m\neq 3$

Để (1) có 2 nghiệm phân biệt:

$\Delta > 0\Leftrightarrow (m-2)^2+4(m-3)> 0\Leftrightarrow m>2\sqrt{2};m<-2\sqrt{2}$

Theo hệ thức vi-ét: 

$\left\{\begin{matrix}
x_1+x_2=m-2 &  & \\ 
x_1.x_2=-m+3 &  & 
\end{matrix}\right.$

$x_1^2+x_2^2+x_3^2=10\\
\Leftrightarrow 1+x_1^2+x_2^2=10\\
\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1.x_2-2x_1.x_2=9\\
\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1.2x_2=9\\
\Leftrightarrow (m-2)^2-2(-m+3)=9\Leftrightarrow
 m=1\pm 2\sqrt{3}$
Đối chiếu ⇒$m=1+2\sqrt{3}$