Đồ thị hàm số y=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1 có 2 điểm cực trị A và B , điểm M (2m^3;m) tạo vs 2 điểm A và B 1 tam giác có diện tích nhỏ nhất khi đó giá trị của m=?

Đáp án:

$m = 0$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$y = 2x^3 - 3(2m + 1)x^2 + 6m(m +1)x +1$

$\Rightarrow y' = 6x^2 - 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - (2m + 1)x + m(m + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = m\\x = m+1\end{array}\right.$

Mặt khác, thực hiện phép chia đa thức: $y$ cho $y'$ ta được:

$y = \left(\dfrac{1}{3}x - \dfrac{2m+1}{6}\right).y' - x + 1 + m(m+1)(2m +1)$

$\Rightarrow (d): x + y -1 - m(m+1)(2m+1)$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Gọi $A$ là điểm cực tiểu, $B$ là điểm cực đại.

Ta được:

$A(m+1;-m + m(m+1)(2m+1))$

$B(m;-m + 1 + m(m+1)(2m+1))$

$\Rightarrow AB = \sqrt{2}$

$\Rightarrow d(M;d) = \dfrac{|2m^3 + m - 1 - m(m+1)(2m+1)|}{\sqrt{2}} = \dfrac{3m^2 +1}{\sqrt{2}}$

Ta có:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}.AB.d(M;d) = \dfrac{1}{2}.\sqrt{2}.\dfrac{3m^2 +1}{\sqrt{2}} =\dfrac{3m^2+1}{2}$

$\Rightarrow S_{min} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = 0$

Vậy $m = 0$