Để đồ thị của HS: \(y = {x^4} + 2m{x^2} + 1\) có 3 điểm cực tạo thành 1 tam giác vuông cân khi đó giá trị m là: A: -1 B: 0 C: 1 D:-2

Đáp án:

$A. m = -1$

Giải thích các bước giải:

$y = x^4 + 2mx^2 + 1$

$TXĐ: D = R$

$y' = 4x^3 + 4mx$

$y' = 0 \Leftrightarrow x^3 + mx = 0 \Leftrightarrow \begin{cases}x = 0\\x^2 + m = 0 \quad (*)\end{cases}$

Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{(*)}' > 0\\0^2 + m \ne 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -m > 0\\m \ne 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow m < 0$

$(*) \Leftrightarrow x^2 = -m$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -\sqrt{-m}\\x = \sqrt{-m}\end{array}\right.$

Gọi $A, B, C$ lần lượt là 3 điêm cực trị, ta được:

$\begin{cases} A(0;1)\\B(-\sqrt{-m}; 1 - m^2)\\C(\sqrt{-m}; 1 - m^2)\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AB} = (-\sqrt{-m};-m^2)\\\overrightarrow{AC} = (\sqrt{-m}; -m^2)\\\overrightarrow{BC} = (2\sqrt{-m};0)\end{cases}$

Ta thấy $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$

$\Rightarrow ΔABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow ΔABC$ vuông cân $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} =0$

$\Leftrightarrow (-\sqrt{-m}).\sqrt{-m} + (-m^2).(-m^2) = 0$

$\Leftrightarrow m^4 + m = 0$

$\Leftrightarrow m(m^3 + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 0\quad (loại)\\m = -1\end{array}\right.$

Vậy $m = -1$