( đại hoc xác suất thống kê) Một Đợi xổ số phát hành 10000 vé có 100 vé trúng thưởng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số vé trúng thưởng. Tìm luật phân phối xác suất của X. Tính kỳ vọng và phương sai của X

Số phần tử không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{10000}^3$

Gọi $X_i$ là biến cố: "Có $i$ vé trúng thưởng"

$\Rightarrow P_i$ là xác suất xảy ra biến cố $X_i$ tương ứng

Ta có:

$+)\quad X_0\Rightarrow P_0 = \dfrac{C_{9997}^3}{C_{10000}^3} =\dfrac{16646674499}{16661667000}$

$+)\quad X_1\Rightarrow P_1 = \dfrac{C_{100}^1.C_{9998}^2}{ C_{10000}^3} =\dfrac{9997}{333300}$

$+)\quad X_2\Rightarrow P_2 = \dfrac{C_{100}^2.C_{9999}^1}{ C_{10000}^3} =\dfrac{297}{999800}$

$+)\quad X_3 \Rightarrow P_3 = \dfrac{C_{100}^3}{ C_{10000}^3} =\dfrac{49}{50489900}$

Ta được bảng phân phối xác suất:

\(\begin{array}{|c|c|}
\hline
X&0&1&2&3\\
\hline
P&\dfrac{16646674499}{16661667000}&\dfrac{9997}{333300}&\dfrac{297}{999800}&\dfrac{49}{50489900}\\
\hline
\end{array}\)

$+)$ Kỳ vọng toán:

$\quad E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^3X_iP_i$

$\Leftrightarrow E(X) = 0\cdot \dfrac{16646674499}{16661667000} + 1\cdot \dfrac{9997}{333300} + 2\cdot \dfrac{297}{999800} + 3\cdot \dfrac{49}{50489900}$

$\Leftrightarrow E(X) = \dfrac{10193951}{3332333340}$

$+)$ Phương sai:

$\quad Var(X) = E(X^2) - E^2(X)$

$\Leftrightarrow Var(X) = 0^2\cdot \dfrac{16646674499}{16661667000} + 1^2\cdot \dfrac{9997}{333300} + 2^2\cdot \dfrac{297}{999800} + 3^2\cdot \dfrac{49}{50489900} - \left(\dfrac{10193951}{3332333340}\right)^2$

$\Leftrightarrow Var(X) = \dfrac{3359667911808743}{111044458887555600}$