Come back rồi đây, tiếp tục đăng câu hỏi dễ làm quen (app học này khá hay đó) Tiện hỏi là mod và biệt đội hăng hái để làm cái gì vậy Tính `int_(0)^(1) (1)/(ln^2 x + 1)dx`

Đáp án:

$\rm Ci(1)\sin(1) - Si(1)\cos(1) + \dfrac12\pi\cos(1)$

Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}\quad I = \displaystyle\int\limits_0^1\dfrac{1}{\ln^2x +1}dx\\ Đặt\,\,u= \ln x\\ \to du = \dfrac{1}{x}dx\\ \text{Đổi cận:}\\ x\quad\Big|\qquad 0 \qquad\,\,\,\, 1\\ \overline{u\quad\, \Big|\quad -\infty\qquad 0}\\ \text{Ta được:}\\ \quad I = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^0\dfrac{e^{u}}{u^2 +1}du\\ Đặt\,\,t = -u\\ \text{Ta được:}\\ \quad I = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t^2 +1}dt\\ \text{Ta có:}\\ \quad F(s) = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty}e^{-st}\dfrac{1}{t^2 +1}dt= \mathfrak{L}\left\{\dfrac{1}{t^2+1}\right\}\\ \to F(s) = \rm Ci(s)\sin(s) + \dfrac12(\pi - 2Si(s))\cos(s)\qquad \text{(Laplace transform)}\\ \text{Với $s=1$ ta được:}\\ \quad F(1) = I = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty}e^{-t}\dfrac{1}{t^2 +1}dt\\ \to I = \lim\limits_{s \to 1}\left[\rm Ci(s)\sin(s) + \dfrac12(\pi - 2Si(s))\cos(s)\right]\\ \to I = \rm Ci(1)\sin(1) + \dfrac12(\pi - 2Si(1))\cos(1)\approx 0.62145\\ \text{Trong đó:}\\ \quad \begin{cases}\rm Ci(s) = -\displaystyle\int\limits_s^{+\infty}\dfrac{\cos t}{t}dt\\\rm Si(s) = \displaystyle\int\limits_0^s\dfrac{\sin t}{t}dt\end{cases} \end{array}$