Có tồn tại cách phân hoạch tập n* thành các tập cấp số cộng có công sai lần lượt là 2,3,...,n 》2 hay ko

Đáp án: Không

\[a+jd_i \leq n \to j \leq \dfrac{n-a_i}{d_i}\]

$(A_i=\{a_i+jd_i\}$ với $a_i,d_i$ lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng thứ $i$
$\to \bigg[\dfrac{n-a_i}{d_i}\bigg]$ số $j\in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn điều kiện trên

Mật độ của tập $A_i$ trong $\mathbb{N}^*$ là:

\[\lim_{n \to +\infty}\dfrac{|\{x \in A_i|x \leq n\}|}{n}=\lim_{n \to +\infty}\dfrac{[\dfrac{n-a_i}{d_i}]}{n}=\dfrac{1}{d_i}\]

\[\mathbb{N}^*=A_1 \cup A_2 \cup .. \cup A_n\to \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+...+\dfrac{1}{d_n}=1\]

Áp dụng vào bài toán:

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+..+\dfrac{1}{n}=1→VL$

$→$ Không tồn tại cách phân hoạch tập $\mathbb{N}^*$  thành các cấp số cộng rời nhau có công sai lần lượt là $2;3;...;n; n>2$