có bao nhiu giá trị nguyên của m: y = 1/3(m^2 - m)x^3 - (m^2-m)x^2 + mx + 1 đồng biến trên R

Đáp án: Có $2$ giá trị $m$ thỏa mãn đề

Giải thích các bước giải:

Với $m=0\to y=1$ (loại)

Với $m=1\to y=x+1$ đồng biến trên $R\to m=1$ (chọn)

Với $m\ne 0,1$

Ta có:

$y'=(m^2-m)x^2-2(m^2-m)x+m$

Để hàm số đồng biến trên $R\to y'\ge 0,\quad\forall x\in R$

$\to\begin{cases} m^2-m>0 \\ \Delta'=(m^2-m)^2-(m^2-m)\cdot m\le 0\end{cases}$

$\to\begin{cases} m(m-1)>0 \\ (m^2-m)(m^2-m-m)\le 0\end{cases}$

$\to\begin{cases} m(m-1)>0 \\ (m^2-m)(m^2-2m)\le 0\end{cases}$

$\to\begin{cases} m(m-1)>0 \\ m^2(m-1)(m-2)\le 0\end{cases}$

$\to\begin{cases} m(m-1)>0 \\ (m-1)(m-2)\le 0\end{cases}$

$\to\begin{cases} m\in(-\infty,0)\cap (1,+\infty) \\ 1\le m\le 2\end{cases}$

$\to 1< m\le 2$

$\Rightarrow 1\le m\le 2$

Mà $m\in Z\to m\in\{1,2\}$

Đáp án:

$1$ giá trị m

Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{1}{3}(m^2-m)x^3 - (m^2 -m)x^2 + mx +1$

$TXD: D = R$

$y' = (m^2-m)x^2 - 2(m^2-m)x + m$

Hàm số đồng biến trên R

$\Leftrightarrow \begin{cases}a >0\\\Delta_{y'}' \leq 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 - m > 0\\(m^2 - m)^2 - m(m^2 - m) \leq 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l}m>1\\m<0\end{array}\right.\\(m^2 -m)(m^2 - 2m)\leq 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow 1 < m \leq 2$

$m \in \Bbb Z \Rightarrow m = 2$