Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn : | z + 1- 3i | = 3√2 với ( z + 2i ) ² là số thuần ảo

Đáp án:

$3$

Giải thích các bước giải:

Đặt $z = a + bi\quad (a,\ b\in\Bbb R)$

Ta có:

$+)\quad |z + 1 - 3i| = 3\sqrt2$

$\to |a + 1 + (b-3)i| = 3\sqrt2$

$\to \sqrt{(a+1)^2 + (b-3)^2} = 3\sqrt2$

$\to (a+1)^2 + (b-3)^2 = 18$

$+)\quad (z + 2i)^2$

$= [a + (b+2)i]^2$

$= a^2 - (b+2)^2 + 2a(b+2)i$

$(z+2i)^2$ là số thuần ảo

$\Leftrightarrow \begin{cases}a^2 - (b+2)^2 = 0\\a\ne 0\\b\ne - 2\end{cases}$

Ta được hệ phương trình:

$\quad \begin{cases}(a+1)^2 +(b-3)^2 = 18\\a^2 - (b+2)^2 = 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}a = 2\\b = 0\end{cases}\\\begin{cases}a = - 3 - \sqrt5\\b = 1+\sqrt5\end{cases}\\\begin{cases}a = \sqrt5 - 3\\b = 1 -\sqrt5\end{cases}\end{array}\right.$

Vậy $z = 2;\ z = - 3 - \sqrt5 + (1+\sqrt5)i$ hoặc $z = \sqrt5 - 3 + (1-\sqrt5)i$