Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để hàm số \(y = m{x^9} + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^6} + \left( {2{m^3} - {m^2} - m} \right){x^4} + m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). A. Vô số B. 1 C. 3 D. 2

Đáp án: 

`B.1`

Giải thích các bước giải: 

$y = m{x^9} + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^6} + \left( {2{m^3} - {m^2} - m} \right){x^4} + m$

`y'=9mx^8+6(m^2-3m+2)x^5+4(2m^3-m^2-m)x^3=0`

`⇒x^3[9mx^5+6(m^2-3m+2)x^2+4m(2m^2-m-1)]=0`

$⇒\left[ \begin{array}{l}x^3=0\\9mx^5+6(m^2-3m+2)x^2+4m(m^2-m-1)=0(1)\end{array} \right.$

Để `y'>=0∀x`

⇒x=0 là nghiệm của (1) ⇒ 2m^3-m^2-m=0⇒$\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=1\\m=-\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

+) Với `m=0 ⇒ y'=x^3. 12x^2=12x^5` (không thỏa mãn)

+)Với ` m=1 ⇒ y'=x^3. 9x^5=9x^8≥0` (thỏa mãn)

+)Với ` m=-1/2` $⇒y'=x^3\left(-\dfrac{9}{2}x^5+\dfrac{45}{2}x^2) \right)=-\dfrac{9}{2}x^8+\dfrac{45}{2}x^5$

Đặt `x^5=t`

`⇒y'=-9/2t^3+45/2t=-27/2t^2+45/2=+-sqrt15/3 (loại)`

Vậy có đúng 1 giá trị của m thỏa mãn là `m=1`

Đáp án:

 Có 1 giá trị thực của m là $m=1$

Giải thích các bước giải:

 $y'=9mx^8+6(m^2-3m+2)x^5+4(2m^3-m^2-m)x^3$

$⇒y'=x^3[9mx^5+6(m^2-3m+2)x^2+4m(2m^2-m-1)]$ (1)

$⇒\left[ \begin{array}{l}x^3=0\\9mx^5+6(m^2-3m+2)x^2+4m(m^2-m-1)=0\end{array} \right.$

Do $y'=0$ luôn có nghiệm bội lẻ $x^3=0$

$⇒y$ đồng biến trên R $⇔y' \geq 0$; $\forall x \in R$ khi:

$9mx^5+6(m^2-3m+2)x^2+4m(2m^2-m-1)=0$ (2) cũng có nghiệm bội lẻ $x=0$

Thay $x=0$ vào (2) ta được:

$4m(2m^2-m-1)=0⇒\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=1\\m=-\dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

- Với $m=0$ thế vào (1):

$y'=x^3.12x^2=12x^5$ không thỏa mãn $y' \geq 0$ $\forall x$

- Với $m=1$ thế vào (1):

$y'=x^3.9x^5=9x^8 \geq 0$ $\forall x$ (thỏa mãn)

- Với $m=-\dfrac{1}{2}$ thế vào (1):

$y'=x^3\left(-\dfrac{9}{2}x^5+\dfrac{45}{2}x^2) \right)=-\dfrac{9}{2}x^8+\dfrac{45}{2}x^5$ 

Do $-\dfrac{9}{2}<0⇒\lim_{x\rightarrow \infty }(y')=-\infty $ hay luôn tồn tại $x$ đủ lớn để $y'<0$ $⇔$ không thỏa mãn $y' \geq 0$ $\forall x$ 

Vậy có đúng 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài: $m=1$