Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàn số y=x³ +3x²-(m²-3m+2)x +5 đồng biến trên (0;2)

Đáp án:

$\Leftrightarrow 1 \leq m \leq 2$

Giải thích các bước giải:

$y = x^3 + 3x^2 - (m^2 - 3m +2)x + 5$

$TXĐ: D= R$

$y' = 3x^2 + 6x - (m^2 - 3m + 2)$

Hàm số đồng biến trên $(0;2)$

$\Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in (0;2)$

$\Leftrightarrow 3x^2 + 6x - (m^2 - 3m + 2)\geq 0, \forall x \in (0;2)$

$\Leftrightarrow m^2 - 3m + 2 \leq 3x^2 + 6x, \forall x \in (0;2)$

Xét $g(x) = 3x^2 + 6x, \, x \in (0;2)$

$\Rightarrow g'(x) = 6x + 6$

$\Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow -1 \not\in (0;2)$

Bảng biến thiên của $g(x)$ trên $(0;2):$

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & & -1 & & & 0 & & & & &2 &\\
\hline
g'(x) &  - & 0&+ &  &  & & &+& &&\\
\hline
&&|&&&&&&&&24\\
g(x) & &|& && && &\nearrow\\
&&|&&&0\\
\hline
\end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

$m^2 - 3m + 2 \leq 0$

$\Leftrightarrow 1 \leq m \leq 2$

Để hàm số đồng biến trên $(0;2)$ thì $y'≥0$, $∀x∈[0;2]$

$→ 3x^2+6x≥m^2-3m+2$, $∀x∈[0;2]$

Đặt $g(x)=3x^2+6x$

$→ m^2-3m+2≤Min_{g(x)}$, $∀x∈[0;2]$

Ta có: $g'(x)=6x+6 → g'(x)=0 ↔ x=-1$

$→$ Trên đoạn $[0;2]$ $g(x)$ đồng biến $→ Min_{g(x)}$ trên $[0;2]$ là $g(0)=0$

$→ m^2-3m+2≤0$

$↔ m∈[1;2]$

Vì $m∈Z$ nên $m=1$ hoặc $m=2$

Vậy có $2$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề bài.