Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình $16^{x} -2.12^{x} +(m-2)9^{x} =0$ có nghiệm dương?

Đáp án:

$2$ giá trị $m$ nguyên dương

Giải thích các bước giải:

$\quad 16^x - 2.12^x + (m-2).9^x = 0\qquad (*)$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac43\right)^{2x} - 2\cdot \left(\dfrac43\right)^{x} + m - 2 = 0$

Đặt $t = \left(\dfrac43\right)^{x}\quad (t > 0)$

$x\in (0;+\infty) \Rightarrow t\in (1;+\infty)$

Phương trình trở thành:

$\quad t^2 - 2t + m - 2 = 0$

$\Leftrightarrow t^2 - 2t - 2 =-m\qquad (*)$

$(*)$ có nghiệm $x\in (0;+\infty)$

$\Leftrightarrow (**)$ có nghiệm $t\in (1;+\infty)$

Xét $f(t)= t^2 - 2t - 2$

$\Rightarrow f'(t)= 2t - 2$

$f'(t)= 0 \Leftrightarrow t= 1$

Bảng xét dấu:

$\begin{array}{c|ccc}t&-\infty&&1&&+\infty\\\hline f'(t)&&-&0&+&\end{array}$

Dựa vào bảng xét dấu, ta được:

$\mathop{\min}\limits_{[1;+\infty)}f(t)= f(1)= -3$

Khi đó:

$(**)$ có nghiệm $t\in (1;+\infty)$

$\Leftrightarrow y = - m$ cắt $y = f(t)$ tại ít nhất một điểm trên $(1;+\infty)$

$\Leftrightarrow - m > - 3$

$\Leftrightarrow m < 3$

mà $m\in \Bbb Z^+$

nên $m\in \{1;2\}$