Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y =x^3/3 -(m+1)x^2/2+(m+1)x-3 đồng biến trên khoảng (1;dương vô cùng)

Đáp án:

Có 3 giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa mãn đề bài.

Giải thích các bước giải:

$y=\dfrac{x^3}3-(m+1)\dfrac{x^2}2+(m+1)x-3$

Để hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$ thì

$y'=x^2-(m+1)x+m+1\ge0$ trên $(1;+\infty)$

$\Leftrightarrow x^2+(m+1)(1-x)\ge0$

$\Leftrightarrow (m+1)(1-x)\ge-x^2$

$\Leftrightarrow m+1\le\dfrac{-x^2}{1-x}$ (do $x>1\Rightarrow 1-x<0$)

$\Rightarrow m\le\dfrac{-x^2}{1-x}-1=\dfrac{-x^2+x-1}{1-x}$

$f(x)=\dfrac{-x^2+x-1}{1-x}$

$\Rightarrow f'(x)=\dfrac{x^2-2x}{(1-x)^2}=0$

$\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=0$

Ta có bảng biến thiên như hình vẽ

$\Rightarrow m\le \min\limits_{(1;+\infty)} y=3$

$m$ nguyên dương $\Rightarrow m=\{1,2,3\}$.