Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đường thẳng y=m(x-1)+1 cắt đồ thị hàm số y=-x^3+3x-1 tại 3 điểm phân biệt

Đáp án: $m<\dfrac{9}{4}$ và $m\ne 0$

Giải thích các bước giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:

$m(x-1)+1=-x^3+3x-1$

$\Rightarrow -x^3+3x-2=m(x-1)$

$\Rightarrow -(x-1)^2(x+2)=m(x-1)$

$\Rightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $-(x-1)(x+2)=m$ (1)

Để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt $\ne 1$

Xét $y=VT=-x^2-x+2$

$y'=-2x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{-1}{2}$

Xét dấu của $y'$:                  $\dfrac{-1}{2}$

                                 $+$                               $-$  

Nên $x_{CĐ}=\dfrac{-1}{2}\Rightarrow y_{CĐ}=y(\dfrac{-1}{2})=\dfrac{9}{4}$

$\Rightarrow m<\dfrac{9}{4}$ thì (2) có 2 nghiệm phân biệt

để nghiệm của (2) $\ne 1$ ta xét $-(1-1)(1+2)\ne m\Rightarrow m\ne 0$

Vậy với $m<\dfrac{9}{4}$ và $m\ne 0$ thì đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.

Đáp án:

Giải thích các bước giải: