Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $(m-5)9^{x}$ +$(2m-2)6^{x}$ +$(1-m)4^{x}$=$0$ có hai nghiệm phân biệt?

Đáp án:

$1$ giá trị nguyên $m$

Giải thích các bước giải:

$\quad (m-5)9^x + (2m-2)6^x + (1-m)4^x = 0\quad (*)$

$\Leftrightarrow (m-5)\left(\dfrac32\right)^{2x} + 2(m-1)\left(\dfrac32\right)^x + 1 - m = 0$

Đặt $t = \left(\dfrac32\right)^x\quad (t > 0)$

Phương trình trở thành:

$\quad (m-5)t^2 + 2(m-1)t + 1 - m = 0\quad (**)$

$(*)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow (**)$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \begin{cases}m - 5 \ne 0\\\Delta_{(**)}' > 0\\S > 0\\P > 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 5\\(m-1)^2 - (m-5)(1-m) > 0\\\dfrac{-2(m-1)}{m-5} > 0\\\dfrac{1 - m}{m-5} > 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m \ne 5\\\left[\begin{array}{l}m > 3\\m < 1\end{array}\right.\\1 < m < 5\end{cases}$

$\Leftrightarrow 3 < m < 5$

mà $m\in \Bbb Z$

nên $m = 4$