Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= ( mx+10 ) / ( 2x+m ) nghịch biến trên ( 0;2) ?

Đáp án:

$6 \, m$ nguyên

Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{mx + 10}{2x +m}$

$TXD: D = R\backslash\left\{-\dfrac{m}{2}\right\}$

$y' = \dfrac{m^2 - 20}{(2x +m)^2}$

Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 - 20\\-\dfrac{m}{2}\not\in (0;2)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}-2\sqrt5 < m < 2\sqrt5\\\left[\begin{array}{l}-\dfrac{m}{2}\leq 0\\-\dfrac{m}{2}\geq 2\end{array}\right.\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}-2\sqrt5 < m < 2\sqrt5\\\left[\begin{array}{l}m \geq 0\\ m \leq -4\end{array}\right.\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-2\sqrt5 < m \leq - 4\\0 \leq m < 2\sqrt5\end{array}\right.$

Do $m \in\Bbb Z$

Nên $m = \left\{-4;0;1;2;3;4\right\}$

TXĐ: $x\neq-\dfrac{m}{2}$

$y=\dfrac{mx+10}{2x+m}$

$→ y'=\dfrac{m^2-20}{(2x+m)^2}$

Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ khi thỏa mãn điều kiện

$\left\{ \begin{array}{l}m^2-20<0\\\left[ \begin{array}{l}-\dfrac{m}{2}≤0\\-\dfrac{m}{2}≥2\end{array} \right.\end{array} \right.$

$↔ \left\{ \begin{array}{l}-2\sqrt[]{5}<m<2\sqrt[]{5}\\\left[ \begin{array}{l}m≥0\\m≤-4\end{array} \right.\end{array} \right.$

$↔ \left[ \begin{array}{l}-2\sqrt[]{5}≤m≤-4\\0≤m≤2\sqrt[]{5}\end{array} \right.$

Vì $m∈Z$ nên $m∈\{-4;0;1;2;3;4\}$ ($6$ giá trị)