có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y=-x+m cắt đồ thị hàm số y=(x-2):(x-1) tại hai điểm phân biệt A ,B sao cho OA+OB=4

Xét ptrinh hoành độ giao điểm

$\dfrac{x-2}{x-1} = -x + m$

$<-> x-2 = (x-1)(m-x)$

$<-> x - 2 = -x^2 + mx + x - m$

$<-> x^2 - mx +m-2 = 0$

Để hai hso cắt nhau tại 2 điểm thì ptrinh hoành độ giao điểm phải có 2 nghiệm. Do đó $\Delta >0$, nên

$m^2 - 4(m-2) > 0$

$<-> m^2 - 4m + 8 > 0$

Ta có $m^2 - 4m + 8 = (m-2)^2 + 4 > 0$

Vậy ptrinh luôn có 2 nghiệm

$x_1 = m - \sqrt{m^2-4m+8} , x_2 = m+\sqrt{m^2-4m+8}$

Khi đó, tọa độ 2 điểm A, B là

$A(m-\sqrt{m^2-4m+8}, \sqrt{m^2-4m+8})$ và $B(m + \sqrt{m^2-4m+8}, -\sqrt{m^2-4m+8})$

Khi đó, ta có

$OA = \sqrt{3m^2 - 8m + 16 - 2m \sqrt{m^2-4m+8}}$

và

$OB = \sqrt{3m^2 - 8m + 16 + 2m \sqrt{m^2-4m+8}}$

Theo đề bài ta có

$OA + OB  =4$

$<-> \sqrt{3m^2 - 8m + 16 - 2m \sqrt{m^2-4m+8}} + \sqrt{3m^2 - 8m + 16 + 2m \sqrt{m^2-4m+8}} = 4$