Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đths y=mx^4-(2m-10)x^2+6m-10 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Đáp án:

$2$

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Đồ thị hàm số $y = m{x^4} - (2m - 10){x^2} + 6m - 10$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

$ \Leftrightarrow m{x^4} - (2m - 10){x^2} + 6m - 10 = 0\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt.

+)TH1: $m = 0$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right)tt:10{x^2} - 10 = 0\\
 \Leftrightarrow 10\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}$

$\to (1)$ chỉ có 2 nghiệm phân biệt.

$ \Rightarrow m = 0\left( l \right)$

+)TH2: $m \ne 0$

Đặt ${x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left( 1 \right)tt:m{t^2} - \left( {2m - 10} \right)t + 6m - 10 = 0\\
 \Leftrightarrow m{t^2} - 2\left( {m - 5} \right)t + 6m - 10 = 0\left( 2 \right)
\end{array}$

Phương trình $(1)$ có 4 nghiệm phân biệt.

$ \Leftrightarrow $Phương trình $(2)$ có 2 nghiệm dương phân biệt.

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - \left( {m - 5} \right)} \right)^2} - m\left( {6m - 10} \right) > 0\\
\dfrac{{ - \left( { - 2\left( {m - 5} \right)} \right)}}{m} > 0\\
\dfrac{{6m - 10}}{m} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 10m + 25 - 6{m^2} + 10m > 0\\
\dfrac{{2m - 10}}{m} > 0\\
\dfrac{{6m - 10}}{m} > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 5{m^2} + 25 > 0\\
\dfrac{{m - 5}}{m} > 0\\
\dfrac{{3m - 5}}{m} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 5 < 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 5\\
m < 0
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \dfrac{5}{3}\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - \sqrt 5  < m < \sqrt 5 \\
\left[ \begin{array}{l}
m > 5\\
m < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \sqrt 5  < m < 0
\end{array}$

Mà $m\in Z$ $ \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}$

$\to $ Có $2$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề.

Vậy $2$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề.