Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để y = x^8 + ( m- 2) x^ 5- ( m^ 2 -4) x^4 + 1 đạt cực tiểu tại x= 0
2 câu trả lời
Đáp án:
4 giá trị
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
y = {x^8} + (m - 2){x^5} - ({m^2} - 4){x^4} + 1\\
y' = 8{x^7} + 5\left( {m - 2} \right){x^4} - 4\left( {{m^2} - 4} \right){x^3}\\
= {x^3}\left( {8{x^4} + 5\left( {m - 2} \right)x - 4\left( {{m^2} - 4} \right)} \right)\\
= {x^3}.g\left( x \right)
\end{array}\)
Do hàm số đạt cực tiểu tại x=0 nên ta xét 2 TH hàm g(x)=0 có nghiệm x=0 và hàm g(x)=0 không có nghiệm x=0
\(\begin{array}{l}
TH1:g\left( x \right) = 0 \to x = 0\\
\to {8.0^4} + 5\left( {m - 2} \right).0 - 4\left( {{m^2} - 4} \right) = 0\\
\to {m^2} - 4 = 0\\
\to m = \pm 2\\
Thay:m = 2\\
\to y' = 8{x^7} + 5.0{x^4} - 4.0{x^3} = 8{x^7}
\end{array}\)
⇒ x=0 là cực tiểu ⇒ m=2(TM)
\(\begin{array}{l}
Thay:m = - 2\\
\to y' = 8{x^7} + 5.\left( { - 4} \right){x^4} - 4.0{x^3} = 8{x^7} - 20{x^4}\\
= {x^4}\left( {8{x^3} - 20} \right)
\end{array}\)
⇒ x=0 không là cực tiểu
⇒ m=-2 (KTM)
TH2: g(x)=0 không có nghiệm x=0
Để y' có cực tiểu tại x=0 tức là y' đổi dấu từ âm sang dương tại điểm x=0
\(\begin{array}{l}
\to \left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y' > 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y' < 0
\end{array} \right.\\
\to 4\left( {{m^2} - 4} \right) < 0\\
\to - 2 < m < 2\\
\to m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\\
KL:m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}
\end{array}\)