có bao nhiêu giá trị m nguyên để đồ thị hàm số Y= X^3 – 3X^2 – mX + 2 có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm cùng phía và cách đều đường thẳng y= X-1

Đáp án: ko có m thỏa mãn

Giải thích các bước giải:

Điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm cùng phía và cách đều đường thẳng y= X-1

thì đường thẳng đi qua 2 điểm đó song song với y=x-1

$ \Rightarrow \frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = 1$

Ta có :

$\begin{array}{l}
y = {x^3} - 3{x^2} - mx + 2\\
 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x - m\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
{x_1} + {x_2} = 2\\
{x_1}{x_2} = \frac{{ - m}}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow 9 + 12m > 0 \Rightarrow m >  - \frac{3}{4}\\
\frac{{{y_1} - {y_2}}}{{{x_1} - {x_2}}} = 1\\
 \Rightarrow {y_1} - {y_2} = {x_1} - {x_2}\\
 \Rightarrow \left( {3x_1^2 - 6{x_1} - m} \right) - \left( {3x_2^2 - 6{x_2} - m} \right) = {x_1} - {x_2}\\
 \Rightarrow 3\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6\left( {{x_1} - {x_2}} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {3{x_1} + 3{x_2} - 6 - 1} \right) = 0\\
 \Rightarrow 3.3 - 7 = 0\\
 \Rightarrow 2 = 0\left( {ktm} \right)
\end{array}$

Vậy ko có giá trị của m thỏa mãn đề bài.